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viernes, 11 de diciembre de 2009

LAS RECTAS NOTABLES DE UN TRIANGULO




Las rectas notables de un triángulo son:


  1. Mediatriz
  2. Mediana
  3. Altura
  4. Bisectriz
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MEDIATRICES

La MEDIATRIZ de un lado de un triángulo se define como la recta perpendicular a dicho lado que pasa por su punto medio.

Todo triángulo ABC, tiene tres mediatrices que denotaremos como sigue:

La mediatriz del lado 'a'=BC, se denota por Ma

La mediatriz del lado 'b'=AC, se denota por Mb

La mediatriz del lado 'c'=AB, se denota por Mc


mediatriz de BCmediatriz de ACmediatriz de AB


Construcción geométrica:

Propiedad 5:

"Los puntos de la mediatriz de un lado de un triángulo equidistan de los vértices que definen dicho lado"

Ejercicio 4:

Con ayuda de una regla y un compás:

  1. Dibuja un triángulo cualquiera y etiqueta sus vértices con las letras A, B y C.
  2. Siguiendo los pasos indicados en las construcciones que has visto, dibuja las tres mediatrices de tu triángulo.
  3. Elige un punto cualquiera de la mediatriz del lado AB y, con ayuda de la regla o el compás, toma la distancia de dicho punto al vértice A y compárala con la distancia de dicho punto al vértice B. ¿Cómo son esas distancias?
  4. Repite el apartado anterior con otros puntos de esa misma mediatriz.
  5. Repite los dos apartados anteriores con las otras dos mediatrices.

Ejercicio 5:

Utilizando los criterios de igualdad de triángulos, demuestra la propiedad 5.

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ALTURAS

La ALTURA de un triángulo, respecto de uno de sus lados, se define como la recta perpendicular a dicho lado que pasa por el vértice opuesto.

Todo triángulo ABC, tiene tres alturas que denotaremos como sigue:

La altura respecto del lado 'a'=BC, se denota por ha

La altura respecto del lado 'b'=AC, se denota por hb

La altura respecto del lado 'c'=AB, se denota por hc

ALTURA lado aALTURA lado bALTURA lado c

Construcción geométrica:

Propiedad 6:

Una altura puede ser interior al triángulo, exterior al mismo, o incluso, coincidir con alguno de sus lados (según el tipo de triángulo):

Si el triángulo es RECTÁNGULO:
"La altura respecto a la hipotenusa es interior, y las otras dos alturas coinciden con los catetos del triángulo"
Si el triángulo es ACUTÁNGULO:
"Las tres alturas son interiores al triángulo"
Si el triángulo es OBTUSÁNGULO:
"La altura respecto al mayor de sus lados es interior, siendo las otras dos alturas exteriores al triángulo"

Propiedad 7:

"En un triángulo isósceles, la altura correspondiente al lado desigual divide el triángulo en dos triángulos iguales"

Ejercicio 6:

  1. Con ayuda de una regla y un compás:
    1. Dibuja un triángulo acutángulo y etiqueta sus vértices con las letras A, B y C.
    2. Siguiendo los pasos indicados en las construcciones que has visto, dibuja las tres alturas de tu triángulo.
    3. Observa si son interiores o exteriores al triángulo, y mira si concuerdan tus resultados con la propiedad 6.
  2. Repite el mismo ejercicio con un triángulo rectángulo.
  3. Repite el mismo ejercicio con un triángulo obtusángulo.

Ejercicio 7:

Utilizando los criterios de igualdad de triángulos, demuestra la propiedad 7.

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MEDIANAS

La MEDIANA de un triángulo, correspondiente a uno de sus vértices, se define como la recta que une dicho vértice del triángulo con el punto medio del lado opuesto.

Todo triángulo ABC, tiene tres medianas (una por cada vértice) que denotaremos como sigue:

Mediana correspondiente al vértice A, se denota por mA

Mediana correspondiente al vértice B, se denota por mB

Mediana correspondiente al vértice C, se denota por mC

MEDIANA vértice Amediana vértice BMEDIANA vértice C

Construcción geométrica:

Propiedad 8:

"Las tres medianas de un triángulo son interiores al mismo, independientemente del tipo de triángulo que sea"

Propiedad 9:

"Cada mediana de un triángulo divide a éste en dos triángulos de igual área"

Ejercicio 8:

  1. Con ayuda de una regla y un compás:
    1. Dibuja un triángulo acutángulo y etiqueta sus vértices con las letras A, B y C.
    2. Siguiendo los pasos indicados en las construcciones que has visto, dibuja las tres medianas de tu triángulo.
    3. Observa si coincide tu resultado con la propiedad 8.
    4. Calcula el área de los dos triángulos en que la mediana mA divide al triángulo ABC y comprueba que se cumple la propiedad 9.
  2. Repite el mismo ejercicio con un triángulo rectángulo.
  3. Repite el mismo ejercicio con un triángulo obtusángulo.

Ejercicio 9:

Demuestra la propiedad 9.

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BISECTRICES

La BISECTRIZ de un triángulo, correspondiente a uno de sus vértices, se define como la recta que, pasando por dicho vértice, divide al ángulo correspondiente en dos partes iguales.

Todo triángulo ABC, tiene tres bisectrices (una por cada ángulo) que denotaremos como sigue:

Bisectriz correspondiente al ángulo A, se denota por bA

Bisectriz correspondiente al ángulo B, se denota por bB

Bisectriz correspondiente al ángulo C, se denota por bC

bisectriz ángulo Abisectriz ángulo Bbisectriz ángulo C

Construcción geométrica:

Propiedad 10:

"Los puntos de la bisectriz equidistan de los lados del ángulo"

es decir: si trazamos perpendiculares desde un punto a los dos lados, los segmentos que se forman son de la misma longitud.

Ejercicio 10:

Con ayuda de una regla y un compás:
  1. Dibuja un triángulo cualquiera y etiqueta sus vértices con las letras A, B y C.
  2. Siguiendo los pasos indicados en las construcciones que has visto, dibuja las tres bisectrices de tu triángulo.
  3. Comprueba sobre tu dibujo que se cumple la propiedad 10.


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